我們可以透過「反證法」來證明根號2是無理數，也就是無法表示成兩個整數的比值。
1. 假設\(\sqrt{2}\)是有理數
那麼可以寫成分數的形式
\[\sqrt{2} = \frac{p}{q}\]
其中 p 和 q 是互質整數（即最大公因數為1），且 \(q \neq 0\)。
2. 兩邊平方
\[2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2\]
這表示 p^2 是偶數，因此 p 也必須是偶數（因為奇數平方仍是奇數）。
3. 令 p = 2k代回原式
\(p^2 = (2k)^2 = 4k^2\) 代入原式得：
\[4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\]
這表示 \(q^2\) 也是偶數，因此 q 也是偶數。
4. 矛盾出現
如果 p 和 q 都是偶數，表示它們有共同因數2，這與「互質」的假設矛盾。由於假設\(\sqrt{2}\)是有理數會導致矛盾，因此\(\sqrt{2}\)不是有理數，也就是無理數。