Jekyll2026-09-13T22:11:03+08:00/feed.xmlBit by bitWelcome to Bit by bit, a personal blog about STEM education. I am Peter JC. Wu, a passionate engineer and lifelong learner based in Tainan.Peter JC. Wu證明根號2是無理數2025-10-18T00:00:00+08:002025-10-18T00:00:00+08:00/%E8%AD%89%E6%98%8E%E6%A0%B9%E8%99%9F2%E6%98%AF%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B8我們可以透過「反證法」來證明根號2是無理數，也就是無法表示成兩個整數的比值。

1. 假設\(\sqrt{2}\)是有理數

那麼可以寫成分數的形式

\[\sqrt{2} = \frac{p}{q}\]

其中 p 和 q 是互質整數（即最大公因數為1），且 \(q \neq 0\)。

2. 兩邊平方

\[2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2\]

這表示 p^2 是偶數，因此 p 也必須是偶數（因為奇數平方仍是奇數）。

3. 令 p = 2k代回原式

\(p^2 = (2k)^2 = 4k^2\) 代入原式得：

\[4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\]

這表示 \(q^2\) 也是偶數，因此 q 也是偶數。

4. 矛盾出現

如果 p 和 q 都是偶數，表示它們有共同因數2，這與「互質」的假設矛盾。由於假設\(\sqrt{2}\)是有理數會導致矛盾，因此\(\sqrt{2}\)不是有理數，也就是無理數。

✅ 結論

由於假設\(\sqrt{2}\)是有理數會導致矛盾，因此\(\sqrt{2}\)不是有理數，也就是無理數。

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